유클리드 K-means에서 축 단위 변경이 군집 경계를 바꾸는 이유는 무엇인가요?

축 단위가 바뀌면 유클리드 제곱거리의 항이 달라져 경계가 바뀔 수 있습니다. 이는 알고리즘이 틀린 것이 아니라 좌표계가 feature weight를 바꾼 결과입니다. 한 점 x=(1,1000)을 두 중심 c1=(0,0), c2=(2,999)에 할당한다고 하겠습니다. 원래 단위에서 d1²=1²+1000²=1,000,001, d2²=(-1)²+1²=2라 c2가 선택됩니다. 가격 축을 원에서 천원으로 바꿔 y를 1로 쓰면 x'=(1,1), c1'=(0,0), c2'=(2,0.999)이고 d1'²=2, d2'²=1+0.001²=1.000001이라 여전히 c2입니다. 같은 실제 데이터를 한 좌표계에서만 변환하지 않고 중심과 표본 모두 같은 단위로 바꿔야 합니다.

선택이 실제로 바뀌는 예를 보겠습니다. x=(0,0), c1=(2,0), c2=(0,1)이면 제곱거리는 4와 1이라 c2를 고릅니다. y축 단위를 10배로 바꾸어 점과 중심을 모두 변환하면 x'=(0,0), c1'=(2,0), c2'=(0,10)이고 거리는 4와 100이 되어 c1을 고릅니다. 모든 좌표를 같은 규칙으로 변환해도 한 축의 거리 가중치가 100배가 되어 할당 경계는 달라집니다. 물리적으로 같은 단위 변경에 대해 같은 metric을 유지하려면 거리 계산의 축별 가중치도 역으로 보정해야 합니다.

표준화는 training split의 평균·표준편차로 fit하고 validation·운영에는 같은 transform을 적용합니다. 변환 전 inertia와 후 inertia는 서로 다른 단위의 objective라 직접 낮고 높음을 비교하지 않고, 각 파이프라인 안에서 seed 안정성·silhouette·업무 지표를 비교합니다.

단위 변환 자체가 물리적으로 같은 좌표를 표현하는 경우에도 저장된 중심을 함께 변환해야 하며, 한쪽만 변환하면 전혀 다른 거리 문제가 됩니다. 표준화 후에는 새 평균과 분산으로 중심을 해석해야 하므로 원래 통화 단위의 보고서가 필요하면 inverse transform을 별도로 적용합니다. 이 변환의 목적과 버전을 기록하지 않으면 재현성 있는 seed도 같은 경계를 복구하지 못합니다.